Il paradosso di Monty Hall è un problema di probabilità controintuitivo che ha affascinato matematici e appassionati di logica per decenni. Prende il nome dal conduttore del gioco televisivo americano “Let’s Make a Deal” e mette in discussione le nostre intuizioni sulla probabilità condizionale.

Il problema

Immaginiamo di partecipare a un quiz televisivo. Di fronte a noi ci sono tre porte, dietro una delle quali si trova un’auto (il premio maggiore), mentre dietro le altre due si trovano capre. Il conduttore ci chiede di scegliere una porta. Dopo la nostra scelta, il conduttore, che sa cosa si cela dietro ogni porta, apre una delle due rimanenti, rivelando sempre una capra. A questo punto ci offre la possibilità di cambiare la nostra scelta iniziale con l’altra porta chiusa. La domanda è: conviene cambiare o mantenere la scelta originale?

L’analisi probabilistica

A prima vista, molti pensano che non faccia alcuna differenza cambiare o meno, ritenendo che le due porte rimanenti abbiano una probabilità pari (50% e 50%). Tuttavia, un’analisi matematica dimostra che cambiare porta aumenta le probabilità di vincere l’auto.

Calcolo delle Probabilità

• All’inizio, scegliamo una porta. La probabilità di aver scelto l’auto è 1/3, mentre la probabilità che l’auto sia dietro una delle altre due porte è 2/3.
• Il conduttore, conoscendo la posizione dell’auto, elimina sempre una delle due porte sbagliate.
• Se inizialmente abbiamo scelto una porta con una capra (probabilità 2/3), allora l’altra porta rimasta chiusa deve contenere l’auto.
• Se inizialmente abbiamo scelto l’auto (probabilità 1/3), cambiare ci farà perdere.
• Dunque, cambiando porta, abbiamo una probabilità 2/3 di vincere, contro il 1/3 se manteniamo la scelta iniziale.

L’intuizione dietro il Paradosso

Il paradosso risulta controintuitivo perché la nostra mente tende a considerare la situazione dopo l’apertura della porta come un nuovo scenario con probabilità pari. Tuttavia, il fatto che il conduttore scelga sempre una porta contenente una capra fornisce un’informazione cruciale: non si tratta di una selezione casuale, ma di una scelta guidata.

Un modo per comprendere meglio il fenomeno è immaginare un caso con 100 porte invece di 3:

• Scegliamo una porta, con una probabilità 1/100 di essere corretta.
• Il conduttore chiude 98 porte sbagliate, lasciandone aperta solo una oltre alla nostra.
• È molto più probabile che l’auto sia dietro la porta che non abbiamo scelto, perché inizialmente avevamo solo l’1% di probabilità di aver azzeccato.

Il paradosso di Monty Hall dimostra come la nostra intuizione possa ingannarci quando si tratta di probabilità condizionale. Cambiare porta è sempre la strategia ottimale, aumentando la probabilità di vittoria dal 33% al 66%. Questo problema è un ottimo esempio di come la matematica possa sfidare le nostre percezioni e rivelare verità sorprendenti su scelte apparentemente semplici.