Immagina questa scena: il mitico Achille, l’eroe greco più veloce di tutti, sfida a una gara di corsa… una tartaruga. Per sportività, Achille concede alla tartaruga un piccolo vantaggio di partenza. Facile pensare che la raggiungerà in un attimo, giusto?

E invece no. Secondo il filosofo greco Zenone di Elea, Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Mai.
Paradossale, vero? Ma proprio questo è il punto.

Chi era Zenone e perché ci complica la vita?

Zenone visse nel V secolo a.C. e fu discepolo del filosofo Parmenide. Era affascinato dai concetti di movimento, spazio e infinito. Per difendere l’idea che il cambiamento e il movimento fossero illusioni, inventò una serie di paradossi, tra cui il più famoso è proprio quello di Achille e la tartaruga.

Ma attenzione: il suo obiettivo non era tanto descrivere una vera corsa tra un eroe e un rettile, quanto mettere in crisi il nostro modo di pensare lo spazio e il tempo.

Il paradosso spiegato passo passo

1. Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga.
2. Prima della gara, la tartaruga riceve un piccolo vantaggio: diciamo, 100 metri di anticipo.
3. Quando Achille avrà percorso quei 100 metri, la tartaruga sarà avanzata di 10 metri.
4. Quando Achille coprirà quei 10 metri, la tartaruga sarà avanzata di 1 metro.
5. Poi di 0,1 metri, poi di 0,01 metri… e così via, all’infinito.

Ogni volta che Achille arriva dove era la tartaruga, lei è già un po’ più avanti.
Quindi… non la raggiungerà mai?

Ma davvero Achille non la raggiunge?

E qui entra in gioco il paradosso. Perché nella realtà, noi sappiamo benissimo che Achille raggiungerà la tartaruga, e in pochi secondi anche. Ma il ragionamento di Zenone ci mette davanti a un’idea controintuitiva: sommare infiniti piccoli spazi e tempi può davvero produrre un risultato finito?

La risposta moderna è: sì. Grazie alla matematica.

La soluzione matematica (senza mal di testa)

Nel paradosso, i tempi che impiega Achille per coprire ogni segmento si sommano così:

T = t₁ + t₂ + t₃ + t₄ + …

Ma questa è una serie geometrica convergente. Tradotto: la somma di infiniti numeri può essere un numero finito, se i termini diventano abbastanza piccoli abbastanza in fretta.

E infatti, usando l’analisi matematica (nata ben dopo Zenone!), possiamo calcolare esattamente quanto tempo serve ad Achille per raggiungere e superare la tartaruga.

Spoiler: ci riesce. E anche in fretta.

Perché allora è un paradosso?

Il punto di Zenone non era davvero credere che Achille non avrebbe mai vinto la gara. Il suo intento era più profondo: mettere in discussione le nostre certezze su concetti come tempo, spazio, movimento e infinito.

Ai suoi tempi, non esisteva il calcolo infinitesimale. L’idea che “l’infinito” potesse produrre un risultato finito era rivoluzionaria. Con il paradosso, Zenone ci mostra che il nostro modo di pensare può portarci a conclusioni assurde, se non stiamo attenti.

Cosa ci insegna oggi?

Il paradosso di Zenone è ancora oggi uno strumento potente per:

• Capire meglio il concetto di infinito.
• Riflettere su come percepiamo spazio e tempo.
• Allenare la mente al pensiero critico.

È un esempio perfetto di come la filosofia e la matematica possano intrecciarsi per aiutarci a vedere il mondo con occhi nuovi.

E alla fine… chi vince?

Achille, ovviamente. Ma Zenone gli ha dato del filo da torcere.